正交矩阵特征值为什么只能是正负一

　　证: 设A是正交矩阵, λ是A的特征值, α是A的于λ的特征向量

　　则 A^TA = E (E单位矩阵), Aα=λα, α≠0

　　考虑向属量λα与λα的内积.

　　一方面, (λα,λα)=λ^2(α,α).

　　另一方面,

　　(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα

　　= α^Tα = (α,α).

　　所以有 λ^2(α,α) = (α,α).

　　又因为 α≠0, 所以 (α,α)>0.

　　所以 λ^2 = 1.

　　所以 λ = ±1.

　　即正交矩阵的特征值只能是1或-1